Стохастические воздействия

Поиск безусловной вероятности наступления одного из несовместимых событий.

Решение задачи без коэффициента прироста

Как известно вероятность наступления в некотором испытании какого-либо одного из событий perem_1, ... , равна сумме вероятностей событий, если любые два из них несовместимы между собой. Расчет производится по формуле:formula_2_1_1

В общем виде задача обратных вычислений, если рассматриваются два события, решается с помощью следующей системы уравнений: systema_uravnenii_1,

где formula_2_1_1_1_1 - вероятность наступления одного из независимых событий perem_Aили perem_B;

formula_1_1_1_1_1- желаемый прирост вероятности наступления одного из независимых событийper_Aили per_B;

formula_2_3_111111 - вероятность наступления событийper_A и per_Bсоответственно;

formula_2_4_1111- прирост вероятностей наступления независимых событийper_A и per_Bсоответственно;

formula_2_5_11111- коэффициенты приоритетности в наступлении событийper_Aи per_Bсоответственно.

Целевая установка:  form_2_6

Задача обратных вероятностных точечных вычислений принимает вид: 

formula_2_7

Как и ранее: formula_2_8

 Полученные в результате решения новые вероятности наступления событийper_A иper_B позволяют определить новые условия, от которых они зависят. Если через per_X1обозначить новые условия для свершения событияformula_2_9, а через  per_x2- для события per_B, то мы проходим к двум уравнениям:

  formula_2_9

  где per_n - общие условия наступления событий per_Aи per_B.

Ответ будет следующим:  fornula_2_10

Пример. В качестве исходных данных служит урна, в которой имеется три красных шара, четыре белых и четыре черных. Вероятность того, что при одном вынимании будет вынут либо, красный, либо белый шар без труда можно определить по формуле безусловной вероятности. Обозначив через событие perem_A извлечения красного шара, а черезperem_B - белого, получим: form_2_11

На рис. а графически представлено прямое вычисление вероятностей наступления двух независимых событий или , а на рис. б - обратные вероятностные вычисления с одинаковой направленностью в изменении аргументов

ris_2_1_1111

Пунктирная дуга, соединяющая дуги графа, указывает на то, что речь идет о появлении либо событияperem_Aлибо события perem_B.

Допустим необходимо увеличить вероятность наступления событий perem_Aили perem_B до 0,8. На рис. б) показаны в окружностях знаки плюс, что означает, что как вероятность наступления события per_2_9, так и вероятность наступления события per_2_10должны увеличиваться. Достижение цели, заключающейся в повышении вероятности наступления независимых событийperem_A и perem_Bдолжно в большей части происходить за счет повышения вероятности наступления события perem_A. Этого требует коэффициент приоритетности alfa_0,7В меньшей мере нагрузка ложится на второе событие perem_B. Коэффициент приоритетности его наступления равен 0,3. 

Для решения сформулированной задачи обратных вычислений запишем следующую систему уравнений: 

f

Так как желаемое значение вероятности наступления событийperem_Aилиperem_Bизвестно из условия задачиformula_P а существующая вероятность равна 0,63, то подставив эти значения в вышеприведенную систему уравнений получим: 

formula_pppppppppppppp

 Решая эту систему, получим: formula_3pppppppppppppppp

 Новые значения вероятностей наступления событий perem_Aили perem_B равны: formula_2_156

Новые условия для наступления событийperem_A или perem_B получим, решив следующие уравнения:  formula_2_18

 

 где per_x1.jpg, per_x2. - количество красных и белых шаров, обеспечивающих новую вероятность наступление событий perem_Aили perem_B, являющихся независимыми. Количество это следующее:per_12456Так как общее количество шаров должно равняться 11, сократим количество черных на 2. Тогда новое соотношение красных, белых и черных шаров будет следующим: 4, 5, 2.

На рис. б результаты расчетов представлены новым количеством шаров: количество красных увеличилось до 4, белых до 5, а черных сократилось до 21.  

kolontotul_1