Нечёткие воздействия

ПОСТАНОВКА ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ И ОБРАТНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ В НЕЧЕТКОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Рассмотрим, каким образом можно распространить идеи обратных вычислений на иерархически-структурированные нечеткие среды, представленные функциями принадлежности. Для облегчения понимания такого перехода вначале, на примере, выполним постановку прямой задачи (популярная детерминированная задача экономики предприятия), затем продемонстрируем ее решение в постановке нечетких обратных вычислений.

Пусть предприятию необходимо повысить свою кредитоспособность.

3.1. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА

Показатели, отражающие процесс расчета кредитоспособности можно структурировать деревом целей и рассчитать с помощью формул. Для иллюстрации дерева целей воспользуемся известными формулами. Для расчета кредитоспособности введем коэффициент, отражающий долю рентабельности собственных средств, приходящуюся на единицу текущей ликвидности: KSS_1где:

RSS- рентабельность собственных средств (коэффициент);

KTL- коэффициент текущей ликвидности.

ПоказательRSS можно рассчитать следующим образом:RSS_1, где:

per_P- объем прибыли;

SS- объем собственных средств.

В свою очередь показательKTL определяется как где:KTL_1,

OS- объем оборотных средств,

KSO- объем краткосрочных обязательств.

Таким образом, можно узнать фактический уровень кредитоспособности предприятия.

Представим иерархическую зависимость между используемыми показателями с помощью дерева целей 

log_2

Расшифруем целевые установки, используемые на рисунке: показатель K необходимо повысить за счет повышения KTLс приоритетностью α и повышения показателя RSS с приоритетностью betta В свою очередь повышение KTL должно произойти за счет повышенияOS с приоритетностью γ и снижения KSO с приоритетностью delta , и, на конец, повышение RSS за счет повышения P с приоритетностью delta и снижения SS с приоритетностью it. Приросты нечетких показателей для уровня кредитоспособности, можно получить следующим образом:formula_1где:

delta_K- желаемый прирост кредитоспособности (показатель K);
koef1i2- искомые коэффициенты, которые будучи умноженными на исходные величиныRSS и KTL, обеспечат их приросты;
alfa-i-betta- коэффициенты приоритетности.

Обратные задачи, как известно, являются достаточно капризными, поэтому, в данном случае, корректные результаты могут быть получены лишь при 0 < K < 1.

Аналогично можно получить приросты и для оставшихся показателей. Это такие показатели, как коэффициент текущей ликвидности и рентабельность собственных средств и ряд других.

Аналогично можно построить системы уравнений и для оставшихся уровней дерева целей. Для уровня коэффициента текущей ликвидности получим:

Система уравнений для уровня коэффицента текущей ликвидности

где Желаемый прирост показателя KTL- желаемый прирост показателя KTL;
Искомые коэффициенты - искомые коэффициенты, которые будучи умноженными на исходные величины ОS и КSO, обеспечат их приросты;
Коэффициенты приоритетности- коэффициенты приоритетности.

Для уровня рентабельности собственных средств:

Система уравнений для уровня рентабельности собственных средств

где Желаемый прирост показателя RSS- желаемый прирост показателя RSS;
Искомые показатели - 2- искомые коэффициенты, которые, будучи умноженными на
исходные величины Pи SS, обеспечат их приросты

 

Коэффициенты приоритетности- коэффициенты приоритетности.

В результате получают управляющие воздействия в форме искомых приростов соответствующих показателей, которые и направляются в соответствующие структурные подразделения для исполнения.

Для оценки финансового состояния предприятия, значения некоторых из них являются нормативными, так устанавливаются Центробанком (например,

RSS- чем выше, тем лучше, KTL- норма больше 2). Данное обстоятельство относит данную задачу в сферу неопределенности.

Задача будет решаться в два этапа:

  • прямые вычисления, предназначенные для определения фактического состояния предприятия и осуществляемые на основе нечеткого вывода согласно правилу Мамдани1;
  • обратные вычисления, которые предназначены для определения управляющих воздействий.

Продолжая использовать тот же пример, введем лингвистические переменные, представим их функциями принадлежности и сформулируем три правила, согласно которым происходит прямой нечеткий вывод:

1. Если KTL есть ниже нормы и RSS есть низкая, то K есть низкая.

2. Если OS есть высокий и KSO есть высокий, то KTL есть низкий.

3. Если P есть высокий иSSесть низкий, то RSS есть высокая.

Прямые вычисления, предназначенные для определения фактического состояния предприятия, выполняются не по введенным выше формулам, а согласно правилу Мамдани. (Информационные ресурсыы и технологии в экономике/ПОд ред. Б.Е. Одинцова и А.Н. Романова.- М.: Вузовский учебник, ИНФРА-М, 2012, Леоненков А.В, Нечеткое моделирование в среде MATLAB и FussyTech - СПб.: БХВ-Петербург, 2005). В данной постановке данное правило будет выполняться три раза в следующей последовательности: вначале определяется деффазифицированная величина KTL, затем - деффазифицированная RSSи, на конец, на их основе, деффазифицированная величина K. Деффазифицированную величину получают превратив нечеткую (фаззифицированную) величину в четкую.

grafic

kolontotul_2

Правило Мамдани будет выполняться не полностью, так как в данном примере, с целью упрощения, каждый вышестоящий в дереве показатель определяется лишь на основе одной операции пересечения условий правила вывода. Поэтому операция объединения найденных усеченных функций принадлежности не выполняется. В результате будут получены центроиды совпадающие с единственными деффазифицированными значениями результатов вывода: для коэффициента текущей ликвидности - KTLo, для рентабельности собственных средств - RSSo для кредитоспособности - Ko (центроиды определяются как проекции центра тяжести фигуры, ограниченной функциями принадлежности выходной переменной с допустимыми значениями1).

Процесс получения перечисленных центроидов на рисункe иллюстрируется сплошной линией. Стрелка 1 указывает на перенос дефаззифицированного результата вывода KTL0 на следующий, более высокий уровень иерархии - уровень кредитоспособности. Таким образом, первый этап заканчивается (прямая задача). Как известно результат носит констатирующий характер (получен показатель K0).

Но менеджера интересует не только фактический уровень кредитоспособности, который может его и не устраивать. Допустим, он хочет его поднять. Для этого проделывается обратный путь (сверху-вниз) в соответствии с установленными приоритетами и его целевыми установками, указанными стрелками с соответствующими буквами. Приоритеты и целевые установки те же, что и на рис. Как уже указывалось желаемый прирост кредитоспособности должен равняться ∆К=К_1-К_0, показанный на рис. с помощью горизонтальной фигурной скобки. Проекция точки К_1 на функцию принадлежности позволяет получить точку а, указывающую на ее значение. Здесь следует обратить внимание на то, что значение функции принадлежности в данной точке ниже по сравнению с предыдущим значением, зависящего от точки К0 , что требует от менеджера анализа приемлемости такого результата. Это снижение можно воспринимать как своеобразную плату за повышение кредитоспособности.

Так как данный показатель находится в зависимости от двух других ( KTLи RSS), то их прирост можно рассчитаться с помощью системы уравнений, приведенной выше. Полученные значения, обозначенные как KTL1 и RSS1, позволяют получить приросты показателей, находящихся уровнем ниже в иерархии показателей: SS1, P1, KSO1 и OS.

Стрелка 2, указывает на переход в расчетах на более нижний уровень иерархии дерева целей, каждая из которых характеризуется новым значением функции принадлежности (a, b, c, d, e, f, g и h). Эти значения также могут устраивать или не устраивать менеджера, ибо они могут выходить или не выходить за рамки допустимых значений. Например, снижение значения функции принадлежности показателя KSO1 с 1,1 до 0,5 в результате его повышения до величины KTL1, является, с точки зрения менеджера не допустимым.

kolontotul_3

Поэтому, не принимая участия в расчетах, они выступают в качестве ограничений, не позволяющих опустится значениям функций принадлежности ниже уровней, заданных лицом, формирующим решение. Ограничения можно представить множеством неравенств видаformula_3_15697, отражающих значения функций принадлежности.
Пересечение допустимых границ требует перерасчета полученных результатов. Методов пересчета существует несколько: за счет изменения приращения показателя, измеряющего главную целевую установку (прирост кредитоспособности), за счет изменения коэффициентов приоритетности целей (всех или частично), динамического перераспределения нагрузки в достижении подцелей между имеющимися узлами дерева целей.

tablichka_1

Как правило, прирост показателя, характеризующего достижение главной цели, не задается пользователем точно. Формулироваться она может следующим образом: требуется, что бы кредитоспособность была около величины К1, что можно представить нечетким множеством со следующей функцией принадлежности: Функция принадлежности.
Какой будет величина К1, используемая для обратных вычислений,укажет минимаксная операция вида: Выражение минимальной операции, используемой для обратных вычислений, что демонстрируется на рис.

Рисунок - 1
где Нечёткое множество, отражающее лингвистическую перменную "Кредитоспособность низкая"- нечеткое множество, отражающее лингвистическую переменную «кредитоспособность низкая»;

Нечёткое множество, отражающее лингвистическую перменную "Кредитоспособность около величины К1") - нечеткое множество, отражающее лингвистическую переменную «кредитоспособность около величины К1».
Данную задачу можно поставить и иначе, модифицировав для обратного нечеткого вывода алгоритм Мамдани. Тогда дополнительно должны быть задействованы в расчетах нечеткие приросты показателей, связанные со значениями функций принадлежности.