Идея, принцип

 

Вид формул, обеспечивающих прямые вычисления, может быть сколь угодно разнообразным. Однако методика обратных вычислений предполагает их приведение к стандартному виду. Для этого необходимо выполнить две операции:

1. Дополнить прямые функции информацией о целевых установках лица, формирующего решение.

2. Применить процедуру свертки/развертки для функций имеющих больше двух аргументов.

Последняя операция не обязательна. Её можно заменить решением системы с nуравнениями, гдеn- количество аргументов в функции.

Первая операция, т.е. отражение целевых установок лица, формирующего решение, реализуется путем дополнения прямой функции следующей информацией:

-направлений в изменении аргументов;

-приоритетность в изменении аргументов (веса важности целей).

Результаты отражаются в аналитической и, часто, графической форме. Можно использовать обе формы одновременно. Направление изменения показателей указывается с помощью знаков плюс или минус (увеличение или уменьшение), а приоритетность целей с помощью коэффициентов их относительной важности (КОВ).

Допустим, имеется формула, отражающая прямую зависимость рентабельности (y) от прибыли (x) и себестоимости продукции (z), что можно представить так:

y=x/z

Тогда, если у лица, формирующего решение, появилось желание повысить рентабельность за счет повышения прибыли и снижения себестоимости, то такая целевая установка в формуле отразится следующим образом:

y_2

Однако это еще не все. Прирост рентабельности, большей его части, можно добиться за счет повышения прибыли, а меньшей - за счет снижения себестоимости или наоборот. Пропорции этих частей указываются с помощью коэффициентов приоритетности.

Например, если 0,8 прироста рентабельности следует добиться за счет увеличения прибыли, а 0,2 - за счет снижения себестоимости, то, тогда формула приобретает вид:

f-0-3-1

где alfa-bettaкоэффициенты приоритетности целей.

 

Эта же информация может быть представлена графически, где показано, что приросты для x и для z зависят не только от прироста delta y, но и от коэффициентов alfa-betta.

shema_0_3_1

Если формулы, функции которых указывают на уровень достижений той или иной цели известны, то необходимо выработать основу или принцип, согласно которому будут определяться приросты аргументов имеющихся функций. Таким принципом будет служить целевое пропорциональное изменение прироста аргументов прямой функции, согласно приоритетам (долям), указанных лицом, формирующим решение.

Пусть задана функция: y=f(x,z) причем согласно цели управления необходим ее прирост на величину delta-y. Так как у функции имеются два аргумента, прирост ее возможен либо за счет прироста первого аргумента, либо прироста второго, либо за счет прироста обоих, либо за счет прироста первого и снижения второго, либо за счет снижения первого и увеличения второго. Первый вариант можно представить так:delta-y= где  delta-y1-delta-y2- приросты функции, полученные за счет приростов первого и второго аргументов. Остальные варианты получают путем изменения знаков около приростов.
Для того чтобы узнать каковыми должны быть приросты аргументов можно задать следующее соотношение:formula-1.1.1.1.1.1

что позволяет записать:formula

 

Если, например, alfa-i-betta= а то данное соотношение следует понимать так: 0,75 от всего прироста функции будет получено за счет прироста аргумента per-x, а 0,25 - за счет прироста аргумента per-z. Коэффициенты alfa-i-betta - это коэффициенты приоритетности аргументов или целей, которые эти аргументы представляют. Они задаются вначале и позволяют отыскать приросты delta-x-i-delta-z. Это напоминает задачу факторного анализа поставленную наоборот.
Так как больший интерес представляет соотношение между приростами аргументов, поэтому запишем следующее:

formula
Далее будем пользоваться именно этим соотношением.
Для того, чтобы задача обратных вычислений была доопределена ее следует дополнить еще одним выражением, а именно:

formula

Принимая во внимание, что delta y=можно записать следующее условие Сумма альфа и бетта равна 1.
Отсюда задачу обратных вычислений для функции с двумя аргументами, в общем виде, можно записать как систему уравнений вида:
Systema uravnenii
Здесь выражения Дельта X от альфа и дельта Z от беттауказывают на функциональную зависимость прироста Дельта Х от коэффициента Альфа, а прироста Дельта Zот коэффициента Бетта. Обязательным условием выступает ограничение Сумма альфа и сумма бетта равна 1. Прирост функции Дельта Yзадается, а неизвестными являются приросты аргументовПлюсМинусДельтаХ и ПлюсМинусДельтаZ.
Если функция содержит более двух аргументов, то возможны два пути решения задачи:
- либо создать систему уравнений, количество которых соответствует количеству аргументов;
- либо обратится к процедуре свертки/развертки, которая позволяет свести многоаргументную функцию к двум аргументам.
Рассмотрим первый путь. Пусть задана функция с тремя аргументами:
 Функция y=f от х, z, p

Прирост функции Переменная ПлюсМинусДельтаYвозможен за счет прироста (положительного или отрицательного) всех трех аргументов, т.е.

Значение переменной ПлюсМинусДельтаY

где Переменная ПлюсМинусДельтаY- общий прирост функции;
Три значения ПлюсМинусДельтаY- приросты функции, полученные за счет приростов первого, второго и третьего аргументов.
Как и ранее можно задавать соотношения приростов аргументов, обеспечивающих необходимый прирост соответствующей части прироста функции. Например:


Соотношение приростов аргументов
где АльфаБеттаИттая - приоритеты целей, отражаемых аргументами x и zи p.
Для решения задач будем пользоваться более простыми выражениями:

Формула1
или
Формула 2.

Тогда задачу обратных вычислений для функций с тремя аргументами можно решить с помощью следующей системы уравнений:

Система уравнений 12-155

Как и ранее в качестве ограничений используются неравенства вида:

Значения переменных
Здесь Значения переменных 2 как и прежде выражения, которые указывают на функциональную зависимость соответствующих приростов от коэффициентов приоритетности Переменные АльфаБеттаИ

Процедуры свертки/развертки

В экономических расчетах нередко используются функции количество, аргументов в которых более двух. В этих случаях рекомендуется применение процедуры свертки/развертки, что позволит существенно упростить процесс обратных вычислений путем применения стандартных базовых конструкций. 

Процедура свертки/развертки достаточно проста и основывается на введении фиктивных переменных, объединяющих блоки по два аргумента. Допустим, имеется функция с тремя аргументами:

    

 Руководствоваться здесь следует следующими правилами:
- последовательно объединять аргументы числом два в группы, обозначая полученные пары новыми идентификаторами;
- если знаки приростов полученных пар аргументов одинаковы, то общий знак прироста будет тот же, что и аргументов, в противном случае указывается знак аргумента, имеющего большую приоритетность;
- если знаки приростов полученных пар аргументов различны, но при этом приоритетность одинакова, то в качестве общего знака прироста указывается любой из них;
- коэффициент приоритетности объединенной группы равняется сумме коэффициентов приоритетности аргументов.
В рассматриваемом примере зависимость с тремя аргументами необходимо свести к зависимости с двумя аргументами, обозначив ее знаменатель через p.  

Тогда получим:

  

После свертки функции происходит вычисление новых значений ее аргументов, для выполнения обратного процесса - процесса развертки, осуществляемой по следующим правилам:
a) определяется общий прирост, зависящий от суммы коэффициентов приоритетности группы объединенных аргументов;
b) выполняется нормирование КОВ для отдельных аргументов по формуле:

с) определяется прирост аргументов, объединенных в группу.

Иллюстрацией приведенных правил может служить рис. 2.4,где представлена функция с тремя аргументами: вначале ее исходный вид(а), затем свернутый(б) и, наконец, развернутый(в).

 


   Рис. 2. Сведение трехаргументной функции к двум аргументам

  

Подробно данная процедура рассматривается в [Одинцов Б.Е. Обратные вычисления в формировании экономических решений. М.: Финансы и статистика, 2004, Одинцов Б.Е., Дик В.В. Синтез баз знаний и обратные вычисления для формирования экономических решений: монография, М.: Маркет ДС, 2010].

В простейших случаях, при наличии аддитивной функции и, если при этом знак желаемого прироста функции совпадает со знаками приростов аргументов, задача решается просто. Для определения приростов аргументов достаточно прирост функции разделить пропорционально коэффициентам приоритетности целей. Допустим, известна следующая целевая установка, заданная аддитивной функцией вида: f-0-3-3

Известен также желаемый прирост функции, равный и который следует получить в результате увеличения обоих аргументов. Если известны пропорции, согласно которым должно произойти данное увеличение, то задача решается просто. Для этого следует прирост функции delta Aразделить пропорционально коэффициентам alfa-betta. Получим:f-0-3-4

откуда f-0-3-5

Проверим результат: Пусть: per-0-3-1 Тогда: per-0-3-2per-0-3-3

Аналогично можно решить задачу, если знаки приростов всех аргументов и функции отрицательны. Однако возникает вопрос: Как определить приросты для функций, которые, во-первых, не являются аддитивными, а во-вторых, приросты аргументов имеют различные знаки. Например, в предыдущей функции можно ли добиться того же результата, за счет повышения первого аргумента и снижения второго? Если пойти тем же путем, то можно получить следующее: per-0-3-4 что неправильно. Не будет правильного решения ни при кратных (дроби), ни мультипликативных (произведения), ни степенных и прочих функциях1. Нужны обратные вычисления, о которых речь пойдет ниже.